投影变换矩阵的推导过程

步骤 1: 垂直（正交）关系

根据投影的几何定义，从向量 \(\mathbf{a}\) 的末端到投影点 \(\mathbf{p}\) 的连线（即投影垂线）必定垂直于目标向量 \(\mathbf{t}\)。

这条垂线向量可以表示为：\(\mathbf{a} - \mathbf{p}\)。

因为垂直，所以它们的点积为零：

步骤 2: 求解标量比例 \(x\)

将 \(\mathbf{p} = x \mathbf{t}\) 代入上面的垂直条件点积公式中：

利用点积分配律展开得到：\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{t} - x (\mathbf{t} \cdot \mathbf{t}) = 0\)

移项后即可解出未知数 \(x\)：

步骤 3: 几何投影公式

将求出的 \(x\) 代回最开始的 \(\mathbf{p} = x \mathbf{t}\)，就得到了大家熟知的几何投影公式：

其中 \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{t}\) 是内积（点积），结果是一个标量。\(\mathbf{t} \cdot \mathbf{t}\) 是 \(\mathbf{t}\) 长度的平方，也是一个标量。

步骤 4: 转换为矩阵乘法形式

将两个列向量的内积写成矩阵乘法形式：\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{t} = \mathbf{t}^T \mathbf{a}\) （这里 \(\mathbf{t}^T\) 是一行，\(\mathbf{a}\) 是一列，相乘得到一个标量）。

👉 如果你不理解内积为什么能写成矩阵乘法，请点击这里查看详细拆解过程

步骤 5: 结合律与矩阵提取

因为 \(\mathbf{t}^T \mathbf{a}\) 仅仅是一个数字（标量），我们可以改变乘法的顺序，把标量乘法转化为矩阵相乘的结合律：

根据矩阵乘法的结合律，\(\mathbf{t} (\mathbf{t}^T \mathbf{a}) = (\mathbf{t} \mathbf{t}^T) \mathbf{a}\)。注意这里 \(\mathbf{t} \mathbf{t}^T\) 是一列乘以一行，结果是一个 \(n \times n\) 的矩阵！

步骤 6: 得出投影矩阵 M

对比形式 \(\mathbf{p} = M \mathbf{a}\)，我们就可以把括号里的部分定义为投影矩阵 \(M\)：

结论：只需用向量 \(\mathbf{a}\) 左乘这个矩阵 \(M\)，就可以瞬间完成空间投影计算。这在3D图形学和渲染管线中被大量使用。